Moto con accelerazione variabile

Esercizio con accelerazione angolare variabile in funzione della velocità angolare

L’esercizio proposto è un esempio applicativo riguardante il moto con una accelerazione variabile, nel caso specifico, il moto di decelerazione di un volano. Il ragionamento qui proposto è applicabile anche a situazioni analoghe, in cui il moto in questione presenta una dipendenza nell’accelerazione dalla velocità e quindi non è applicabile la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato.

Testo

Un volano che ruota intorno al proprio asse con velocità angolare iniziale ω₀ decelera a causa di un attrito il cui momento meccanico è proporzionale alla radice quadrata della velocità angolare istantanea. Trovare la velocità angolare media del volano durante il tempo totale di decelerazione del volano.

Soluzione

Il momento angolare I del volano è:

I=\frac{1}{2}~mr^2

Dal testo sappiamo che il momento meccanico può si può scrivere come:

M=k\sqrt{\omega}

Ma per definizione:

M=I\alpha

Quindi, eguagliando il momento meccanico con la sua definizione e sostituendo il valore del momento di inerzia I possiamo ricavare l’accelerazione angolare

\alpha=\frac{2k\sqrt{\omega}}{mr^2}

Siamo quindi arrivati al punto: siccome abbiamo trovato che l’accelerazione non è costante ma varia in funzione della velocità, il moto non è uniformemente accelerato (o meglio in questo caso decelerato) e quindi dobbiamo calcolarci la nostra specifica legge oraria. Per calcolarmi come varia la velocità in funzione del tempo posso usare direttamente la definizione e ricavare l’espressione per la velocità angolare calcolando l’integrale nel tempo

\alpha=\frac{d\omega}{dt}=-\frac{2k\sqrt{\omega}}{mr^2} \Rightarrow \int_{\omega_0}^{\omega_t}\frac{d\omega}{\sqrt{\omega}}=\int_0^t -\frac{2k}{mr^2} dt

Quindi risolvendo l’integrale ed esplicitando la velocità angolare ottengo:

\omega=\left(\sqrt{\omega_0}-\frac{kt}{mr^2}\right)^2

Se voglio sapere il tempo totale di durata della decelerazione basta porre la velocità angolare uguale a zero e quindi

t_f=\frac{\sqrt{\omega_0}mr^2}{k}

Infine, per calcolare la velocità media, mi basta ricordare la definizione di velocità, intesa come spazio totale diviso il tempo totale impiegato a percorrerlo, in questo caso proprio t_f . Per calcolare lo spazio percorso mi basta integrare l’espressione ottenuta per la velocità angolare sul tempo cioè:

\theta=\int_0^{t}\omega(t)dt=\int_0^{t}\left(\sqrt{\omega_0}-\frac{kt}{mr^2}\right)^2dt=\\\quad\\=\int_0^{t}\omega_0-2\sqrt{\omega_0}\frac{kt}{mr^2}+\frac{k^2t^2}{m^2r^4}dt=\\\quad\\=\omega_0t-\frac{\sqrt{\omega_0}kt^2}{mr^2}+\frac{k^2t^3}{3m^2r^4}

Quella ottenuta è la legge oraria del nostro moto con accelerazione variabile. Se voglio sapere quanto spazio ha percorso il volano prima di fermarsi (in questo caso quanto ha ruotato, l’angolo totale percorso) sostituisco a t il tempo totale t_f. Quindi la velocità media sarà:

\theta_m=\frac{\theta(t_f)}{t_f}=\frac{\omega_0}{3}

Ottenuta sostituendo l’espressione per θ e per t_f